Χρήσιμα Μαθηματικά εργαλεία

Ceteris paribus
Είναι μια έννοια που συναντάμε συχνά στην οικονομική ανάλυση.Αφορά την ανάγκη εξάλειψης των εξωτερικών επιδράσεων, που μπορεί να αμφισβητήσουν την αξιο-πιστία των προσπαθειών που γίνoνται για την ερμηνεία της οικονομικής συμπερι-φοράς.Συγκεντρωνόμαστε, όταν κάνουμε χρήση αυτής της παραδοχής, στην συγκε-κριμένη σχέση για την οποία ενδιαφερόμαστε, ενώ οι λοιποί παράγοντες παραμέ-νουν αμετάβλητοι.
Ας πάρουμε για παράδειγμα, την καμπύλη ζήτησης:
Όταν εξετάζουμε την επίδραση που ασκεί η τιμή στις ποσότητες των ρούχων που θέλουμε και μπορούμε να αγοράσουμε, δεχόμαστε ότι το εισόδημα μας και οι προ-τιμήσεις μας δεν μεταβάλλονται.Διαφορετικά, αν δηλαδή το εισόδημα ή οι προτι-μήσεις μας μεταβάλλονται, τότε η θέληση μας και η δυνατότητα μας θα αλλάξουν και αυτές.

Γραφικές παραστάσεις
Επειδή οι κλίμακες δείχνουν τις σχέσεις μόνο μεταξύ συγκεκριμένων ποσοτήτων και τιμών, χρησιμοποιούνται από τους οικονομολόγους κυρίως, οι γραφικές παραστάσεις και εξισώσεις, οι οποίες μας δείχνουν γενικευμένες σχέσεις, σχέσεις που καλύπτουν όλες τις ποσότητες και τις τιμές.
Η απλούστερη μέθοδος για να δείξουμε μια συναρτησιακή σχέση στη γενική της μορφή, είναι η γραφική παράσταση.Για παράδειγμα, η γραφική παράσταση των διεθνών τιμών του πετρελαίου στη διάρκεια μιας χρονικής περιόδου, μας δείχνει το επίπεδο των τιμών σε διάφορα χρονικά σημεία.
Προσοχή!Δεν δείχνει σχέση συμπεριφοράς μεταξύ μιας ημερομηνίας και μιας τι-μής.Μια τέτοια γραφική παράσταση απλώς περιγράφει και συνοψίζει τα δεδομέ-να.Δεν σημαίνει ότι μια συγκεκριμένη ημερομηνία προκάλεσε την διαμόρφωση των τιμών του πετρελαίου σε ένα συγκεκριμένο επίπεδο.
Μια γραφική παράσταση όμως, που συσχετίζει την τιμή του πετρελαίου με την συνο-λική ποσότητα που θέλουμε να αγοράσουμε σ΄αυτή την τιμή, ceteris paribus, είναι πράγματι γραφική απεικόνιση συναρτησιακής σχέσεως.
§ Χρήσεις των γραφικών παραστάσεων
1. Αρχίζετε πάντοτε, ονομάζοντας τους άξονες μιας γραφικής παράστασης.Ακόμα και ο πιο συνηθισμένος τύπος διαγράμματος προσφοράς και ζήτησης, πρέπει να έχει τον ένα άξονα ονομασμένο με την Τιμή ή (P) και τον άλλο με την λέξη Ποσότητα ή (Q).
2. Κάθε σημείο μιας γραφικής παράστασης αντιπροσωπεύει δύο μεταβλητές.Κάθε σημείο δείχνει ποιά τιμή του Χ συσχετίζεται με δεδομένη τιμή του Ψ.Για παράδειγμα, ποιά ποσότητα προσφέρεται ή αγοράζεται σε δεδομένη τιμή.
3. Οι καμπύλες δείχνουν πώς μεταβάλλονται οι σχέσεις.Κάθε σημείο στο διά-γραμμα, δείχνει τη σχέση μόνο ενός ζεύγους συντεταγμένων, όπως τρείς μονά-δες προιόντος και έξι Euros.Αντίθετα, η καμπύλη δείχνει τη σχέση πολλών ζευ-γών συντεταγμένων της συναρτήσεως που μας ενδιαφέρει.

Εξισώσεις
Οι εξισώσεις είναι ένας άνετος τρόπος εκφράσεως συναρτησιακών σχέσεων, γιατί μας επιτρέπει να εξετάζουμε την επίδραση περισσοτέρων παραγόντων ταυτόχρονα.
Μια κλασική εξίσωση ζητήσεως μπορεί να έχει τη μορφή:
Qd= f (P)
Η παραπάνω εξίσωση έχει τρείς όρους, τους Qd, f και P και ο καθένας έχει το όνομα του.Το ενδιαφέρον εστιάζεται στο πώς επηρεάζονται οι ζητούμενες ποσότητες (Qd) από τις μεταβολές των τιμών (P).Έτσι λοιπόν, ο όρος Qd λέγεται εξαρτημένη μετα-βλητή γιατί μεταβάλλεται και εξαρτάται από τις μεταβολές της και η P ανεξάρτητη μεταβλητή.Όσο αφορά τον όρο f, ο ορισμός του είναι απλώς συνάρτηση.
Συμπερασματικά λοιπόν, την εξίσωση Qd= f(P) την διαβάζουμε ως εξής:
Η ζητούμενη ποσότητα είναι συνάρτηση της τιμής.
Αν η ζητούμενη ποσότητα είναι συνάρτηση της τιμής αλλά και του εισοδήματος, τότε η συνάρτηση γράφεται:
Qd= f (P, Y)
Παράδειγμα 1
Ας υποθέσουμε ότι μια έρευνα για τις προτιμήσεις των καταναλωτών αποκάλυψε ότι η ζητούμενη ποσότητα είναι 100 μονάδες από το προιόν όταν η τιμή του προιόντος είναι ίση με 1€ και ότι θα αγόραζαν μια μονάδα λιγότερο κάθε φορά που η τιμή θα ανέβαινε κατά 1€.Η εξίσωση της ζήτησης είναι:
Qd=101-1 P
Παράδειγμα 2
Ας υποθέσουμε ότι η συνάρτηση ζήτησης είναι :
Qd=20-0.2 P
Και η συνάρτηση προσφοράς είναι:
Qs=0.8 P
Ποιά είναι η τιμή (P) που θα κάνει την Qd ίση με την Qs;
Λύση
Αν Qd= Qs, τότε 20-0,2 P =0,8 P.Φέρνοντας όλους τους όρους P στην ίδια πλευρά, έχουμε: 0,8 P+0,2 P =20 ή 1 P =20 και λύνοντας ως πρός P, προκύπτει P=20.

Παράδειγμα 3
Ας υποθέσουμε ότι η κατανάλωση (C) είναι συνάρτηση του εισοδήματος(Υ).
Αυτό σημαίνει ότι, η κατανάλωση (C) είναι η εξαρτημένη μεταβλητή Ψ και το εισό-δημα (Υ) είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή Χ.
Η γενική μορφή της συνάρτησης κατανάλωσης έχει τύπο:
C=F(Y)
(η κατανάλωση εξαρτάται από το εισόδημα)
Η ειδική μορφή συνάρτησης κατανάλωσης έχει τύπο:
C= a+b Y a, b παράμετροι.
(Παράμετρος είναι ένας σταθερός αριθμός που προσδιορίζει την ποσοτική σχέση μεταξύ των μεταβλητών).
H παράμετρος a αντιπροσωπεύει το λεγόμενο αυτόνομο τμήμα της κατανάλωσης, το τμήμα δηλαδή, της κατανάλωσης που είναι ανεξάρτητο από το εισόδημα.Κατά συνέπεια, αν το εισόδημα είναι μηδενικό (Υ=0), τότε η κατανάλωση είναι ίση με το αυτόνομο τμήμα της (C=a).
Αν η συνάρτηση κατανάλωσης έχει την ακόλουθη μορφή:
C=10+0.5Y
και το εισόδημα είναι ίσο 50€ , τότε η κατανάλωση ισούται με C= 10+0,5 50=35€.

Κλίμακες
Οι κλίμακες είναι τα εμπειρικά ή υποθετικά δεδομένα, των οποίων την εμπειρική αλληλεξάρτηση θέλουμε να εξετάσουμε.Μια κλίμακα μπορεί να είναι, ένας κατά-λογος των ποσοτήτων ρούχων που προσφέρονται και ζητούνται στις διάφορες τιμές.

Συναρτησιακές σχέσεις
Τις σχέσεις που απεικονίζουν την επίδραση ενός παράγοντα σε ένα άλλο τις απο-καλούμε συναρτησιακές σχέσεις.Αυτές οι σχέσεις περιγράφουν πραγματικά γεγο-νότα, που μπορούμε να τα ανακαλύψουμε μόνο με την εμπειρική έρευνα.
Στην Οικονομική επιστήμη, η τεχνική που χρησιμοποιείται για την ανακάλυψη αυτών των σχέσεων ονομάζεται Οικονομετρία.

Ταυτότητες
Οι ταυτότητες είναι αληθείς εξ ορισμού.Δεν μπορούν να αποδειχθούν ως αληθείς ή ψευδείς, γιατί δεν υπάρχει τίποτε να αποδειχθεί.Οι ταυτότητες τις δεχόμαστε αξιωμα-τικά ως αληθείς και αδιαφιλονίκητες, σε αντίθεση με τις συναρτησιακές σχέσεις που ανακαλύπτονται εμπειρικά.